Verdi Derivate

    Pintagora va ad aiutare l’amico giardiniere che deve costruire un’aiuola in un giardino pubblico. Ha a disposizione una recinzione di 104 metri in ferro e pensava di realizzarla di forma rettangolare.  Vuole capire le sue dimensioni destinando ad essa la massima area possibile.

    Pintagora ricorre alle derivate!

    Il perimetro dell’aiuola deve essere 104 metri, quindi  2x+2h=104 ovvero h=52-x

    L’area del rettangolo, che Pintagora indica con  f(x) è il prodotto della base per l’altezza:

    f(x)=xh=x(52-x)=-x^2+52x

    Pintagora riconosce una funzione di questo tipo! E’ una parabola!

    Quando la funzione  f(x) ha un massimo? Ne studia la derivata prima, determinando i valori  che annullano la derivata:

    f'(x)=0

    Infatti, dal teorema di Fermat sui massimi e i minimi, sa che

    se una funzione definita in un intervallo [a,b] e derivabile in un punto x_0  interno a tale intervallo, ha un massimo o un minimo in x_0, allora f'(x_0)=0

    Sa anche che il teorema fornisce solo una condizione necessaria all’esistenza di un punto estremante: una funzione può avere punti stazionari (ovvero che annullano la derivata prima) senza che essi siano di massimo o di minimo. Andrà quindi poi a valutare il segno della derivata nell’intorno del punto per capire meglio. Se risulta

        \[f'(x) \begin{cases} >0\ per\ x<x_0, & \\ <0\ per\ x>x_0  \end{cases}\]

    allora x_0 è un punto di massimo relativo.

    La derivata prima è una retta:

    f'(x)=-2x+52

    f'(x)=0\ per\ x=26

    Per x<26 la derivata prima è positiva, per x>26  è negativa: x=26  è quindi un punto di massimo per  f(x).

    Per  x=26, h=52-x=26. L’aiuola sarà quindi un quadrato!

     

     

     

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