Verdi Derivate

Pintagora va ad aiutare l’amico giardiniere che deve costruire un’aiuola in un giardino pubblico. Ha a disposizione una recinzione di 104 metri in ferro e pensava di realizzarla di forma rettangolare. Vuole capire le sue dimensioni destinando ad essa la massima area possibile.

Pintagora ricorre alle derivate!

Il perimetro dell’aiuola deve essere 104 metri, quindi $2x+2h=104$ ovvero $h=52-x$

L’area del rettangolo, che Pintagora indica con $f(x)$ è il prodotto della base per l’altezza:

$f(x)=xh=x(52-x)=-x^2+52x$

Pintagora riconosce una funzione di questo tipo! E’ una parabola!

Quando la funzione $f(x)$ ha un massimo? Ne studia la derivata prima, determinando i valori che annullano la derivata:

$f'(x)=0$

Infatti, dal teorema di Fermat sui massimi e i minimi, sa che

se una funzione definita in un intervallo [a,b] e derivabile in un punto $x_0$ interno a tale intervallo, ha un massimo o un minimo in $x_0,$ allora $f'(x_0)=0$

Sa anche che il teorema fornisce solo una condizione necessaria all’esistenza di un punto estremante: una funzione può avere punti stazionari (ovvero che annullano la derivata prima) senza che essi siano di massimo o di minimo. Andrà quindi poi a valutare il segno della derivata nell’intorno del punto per capire meglio. Se risulta

$f'(x) \begin{cases} >0\ per\ x<x_0, & \\ <0\ per\ x>x_0 \end{cases}$

allora $x_0$ è un punto di massimo relativo.

La derivata prima è una retta:

$f'(x)=-2x+52$

$f'(x)=0\ per\ x=26$

Per $x<26$ la derivata prima è positiva, per $x>26$ è negativa: $x=26$ è quindi un punto di massimo per $f(x)$ .

Per $x=26$ , $h=52-x=26$ . L’aiuola sarà quindi un quadrato!

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