Tassi di interesse spaziali

    Quando versiamo dei soldi in banca riceviamo un compenso che è l’interesse. Esso rappresenta il prezzo che la banca paga per poter disporre del nostro denaro. Si esprime generalmente in percentuale: se ad esempio è il 5%, su 100 € depositati la banca da 5 € di interesse.

    Pintagora ha appena depositato 500€ in banca. Gli è stato promesso un tasso annuo di interesse del 5%.  Quale somma avrà a disposizione dopo 3 anni?

    Tra 3 anni uscirà la saga completa Star Wars, la sua preferita! Ce la farà ad acquistarla utilizzando i soli interessi maturati? Scopriamolo!

    Indichiamo l’importo con G_nn\in \mathbb{N}

    G_0=500 è l’importo iniziale, G_1 è l’importo disponibile dopo un anno, G_2 è l’importo disponibile dopo due anni, G_3 è l’importo dopo 3 anni.

    Indichiamo invece con i il tasso di interesse

    i=\frac{5}{100}=0,05

    Qual è la funzione che descrive l’incremento dell’importo al variare del tempo?

    Al termine del primo anno, la somma disponibile sarà

    G_1=G_0+i \cdot G_0=G_0(1+i)

    Dopo il secondo anno, l’importo sarà dato dall’importo al termine del primo anno più gli interessi maturati nel secondo anno, ovvero:

    G_2=G_1+i \cdot G_1=G_1(1+i)= G_0(1+i)(1+i)=G_0 (1+i)^2

    Al termine del terzo anno, l’importo sarà dato dall’importo al termine del secondo anno più gli interessi maturati nel terzo anno:

    G_3=G_2+i \cdot G_2= G_2(1+i)= G_0(1+i)(1+i)(1+i)=G_0 (1+i)^3

    Pintagora dopo 3 anni avrà a disposizione una somma pari a

    500(1+\frac{5}{100})^3=578,8

    Con 78 € derivanti dagli interessi, sicuramente riuscirà a comprare il cofanetto Star Wars!

    In generale, dato l’importo iniziale G_0 ed il tasso di interesse i, la funzione che rappresenta l’incremento dell’importo al variare del numero n di anni di investimento è di tipo esponenziale:

    G_n= G_0(1+i)^n

    Dopo quanti anni Pintagora vedrà la somma versata raddoppiata?

    Vediamolo:

    G_0(1+i)^n=2 \cdot G_0

    ovvero

    (1+i)^n=2

    Quindi il problema si riduce a trovare la n che risolve tale equazione.

    Questa formula fu risolta già nel 1494 dal matematico Luca Pacioli che scrisse che un capitale qualsiasi si raddoppia in un numero di anni pari a

    \frac{72}{100 \cdot i}

    Quindi Pintagora otterrà 1000 € dopo 14 anni:

    n=\frac{72}{100 \cdot 0,05}=14,4

    Nel caso in cui gli interessi venissero capitalizzati in periodi inferiori all’anno (mesi, settimane, giorni), si divide il tasso di interesse annuo per il numero di periodi contenuti nell’anno e si moltiplica l’esponente per lo stesso numero di periodi. Ad esempio, nel caso mensile:

    G_{n \cdot 12}= G_0(1+\frac{i}{12})^{n \cdot 12}

     

    Settimanale: G_{n \cdot 52}= G_0(1+\frac{i}{52})^{n \cdot 52}

    Giornaliero: G_{n \cdot 365}= G_0(1+\frac{i}{365})^{n \cdot 365}

     

    Come si osserva dal grafico, se gli interessi fossero contabilizzati con continuità, la funzione che descrive la crescita del capitale iniziale sarebbe di tipo esponenziale con base numero di Nepero e=2,71828…

    Vediamolo in Excel:

     

    Scarica il documento Excel, imposta il tuo capitale iniziale e tasso di interesse ed osserva la crescita del capitale! (ma prima fai tu i calcoli!)

     

    Scarica il documento

     

     

     

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