Terremoti con i logaritmi

Pintagora sta guardando il tg e sente la notizia di un terremoto avvenuto nella notte in un’isola dell’arcipelago giapponese. Fortunatamente non ci sono grossi danni, ma è stato un forte terremoto di magnitudo 5,2 della scala Richter. Il sismografo, ovvero lo strumento che viene utilizzato per registrare i fenomeni sismici, posto a 100 km dall’epicentro ha registrato le scosse (l’epicentro è il luogo, posto sulla superficie terrestre, dal quale hanno origine le onde sismiche del terremoto).

Pintagora calcola velocemente l’ampiezza massima delle onde sismiche registrata dal sismografo: 15,8 cm!

Prima di capire come abbia fatto, introduciamo alcuni concetti partendo dalla magnitudo. Essa rappresenta la forza di un terremoto e si utilizza per stimare quanta energia elastica il terremoto ha sprigionato. La introdussero Richter e Gutemberg nel 1935: costruirono la scala di valori della magnitudo, prendendo come unità di riferimento (magnitudo 0) l’ampiezza di 0,001 millimetri prodotta sul sismogramma posto a 100 km dall’epicentro del terremoto (il sismogramma è il diagramma tracciato dall’oscillatore del sismografo, che riproduce le vibrazioni sismiche).

Considerato un terremoto di ampiezza a e con magnitudo n, Richter  stabilì che un terremoto di ampiezza 10 volte maggiore avrebbe avuto una magnitudo pari a n+1. Ogni volta che l’ampiezza massima cresce di 10 volte rispetto al valore precedente, la magnitudo cresce di una unità: quindi la scala Ritcher è una scala logaritmica di base 10!

Ricordiamo come è fatta la funzione logaritmica?

Per x \ge 1:

Considerati i terremoti a 100 km di distanza, la magnitudo è quindi espressa da:

M_L=log A

Ove A è l’altezza massima della sinusoide, espressa in millimetri, registrata sul sismogramma.

Al fine di evitare numeri di magnitudo troppo grandi, Richter ritenne opportuno rapportare l’ampiezza massima A all’ampiezza A_0 prodotta dal terremoto standard (il terremoto standard indica un terremoto che su un sismografo posizionato a 100 km dall’epicentro registra un sismogramma con ampiezza massima delle onde pari a 0,001 mm):

M=log (A/A_0)=log A-log A_0

Non tutti i terremoti avvengono però a 100 km di distanza! La magnitudo di terremoti con una differente distanza epicentrale può essere determinata conoscendo la legge di attenuazione dell’ampiezza delle onde sismiche. Richter determinò questa legge in modo empirico, basandosi sullo studio di alcuni terremoti superficiali avvenuti in California. Nel caso di distanze inferiori ai 200 km:

M_L=log A+1,6 log D-0,15

Per distanze tra i 200 e i 600 km:

M_L=log A+3 log D-3,38

D è la distanza tra sismografo ed epicentro.

Torniamo a noi. Pintagora parte dalla riflessione che le onde registrate saranno sicuramente più alte di 10 cm. Infatti, se l’ampiezza delle onde sismiche di un terremoto di magnitudo 0 registrato a 100 km dall’epicentro è di 0,001 mm, un aumento di 1000 volte dell’ampiezza delle onde (onde ampie 1 mm) corrisponde ad una magnitudo 3. Onde alte 10 mm ad una magnitudo 4, onde alte 100 mm (10 cm) ad una magnitudo 5!

log (A/A_0)=M

log(\frac{A}{0,001})=5,2

Per la proprietà di sottrazione dei logaritmi:

log A - log 0,001=5,2

log A=5,2+log 0,001

log A=2,2

A=10^{2,2}=158\ mm

E se il sismografo fosse ad una distanza diversa da 100 km? Supponiamo di osservare il seguente sismogramma e voler calcolare la magnitudo:

 

Le onde P (primarie) sono le prime a giungere in superficie ed essere registrate dai sismografi: al loro passaggio le particelle del materiale che attraversano compiono un moto oscillatorio nella direzione di propagazione dell’onda. Le onde S (secondarie), anche dette trasversali, provocano oscillazioni delle particelle dal basso verso l’alto e viceversa, perpendicolarmente alla direzione di propagazione.

Misuriamo dapprima la distanza tra le onde P ed S e l’ampiezza delle onde sismiche:

 

Immaginiamo che la distanza P-S sia 24 secondi e l’ampiezza 23 mm. Per determinare la magnitudo, utilizziamo un diagramma di conversione tracciando una riga tra il valore riportato nella scala della distanza P-S e quello della scala dell’ampiezza delle onde:

 

Insomma, questi logaritmi che spesso guardiamo con diffidenza, ora sappiamo che sono utili nella vita pratica!

in Logaritmi con i dinosauri puoi rivedere le proprietà dei logaritmi e provare a risolvere delle semplici equazioni. Occhio al timer e in ultimo, controlla le soluzioni!

 

 

 

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