Primi e Perfetti

    Hai mai sentito parlare di Mersenne?

    Mersenne è stato un filosofo, teologo e matematico francese vissuto nel Seicento. Seppur la matematica non fosse al centro delle sue attività (nella sua vita scrisse soprattutto di teoria musicale e teologia), è ricordato per i numeri di Mersenne, ovvero numeri espressi nella forma

    2^p-1

    ove p è un numero primo.

    Non tutti i numeri esprimibili in questo modo sono primi; se lo sono si chiamano primi di Mersenne.

    Il più grande numero di Mersenne sino ad oggi scoperto, come già citato nel post Il fascino dei numeri primi è:

    2^{77.232.917}-1

    Un numero di oltre 23 milioni di cifre!

    Per trovare grandi numeri primi di Mersenne, oggi esiste il progetto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), creato nel 1996 da George Woltman che effettua ricerche grazie a migliaia di computer in ogni parte del globo.

    Con base operativa ad Orlando, in Florida, il GIMPS utilizza la potenza di calcolo dei computer di molti volontari in tutto il mondo che utilizzano un programma per verificare la primalità di un numero di Mersenne. Il programma gira a bassa priorità (ovvero va in esecuzione solamente quando il processore non è impegnato in altri compiti) e si connette con un server (PrimeNet) che assegna e memorizza dati dalle varie CPU dei volontari: tramite esso è possibile ricevere gli esponenti da testare e comunicare via via i risultati.  Possono servire anche diverse settimane di lavoro ininterrotto per completare un singolo test!

    Oltre al test di primalità (test di Lucas-Lehmer), tra i lavori assegnati dal server c’è anche la fattorizzazione (trial factoring) il cui scopo è dimostrare, individuando un suo divisore, che un numero non è primo: è il tipo di lavoro meno oneroso e che consente di evitare il test di Lucas-Lehmer che  richiede svariato tempo. La fattorizzazione, ovviamente, non può essere utilizzata per trovare nuovi numeri primi di Mersenne ma solo per restringere il numero di candidati.

    Il software è disponibile in versioni dedicate per FreeBSD, Linux, macOS e Microsoft Windows. Se ti interessa scaricarlo o vuoi saperne di più, clicca qui

    I numeri primi di Mersenne, scoperti ad oggi attraverso il GIMPS, sono 16.

     

    Il test di Lucas-Lehmer, per la verifica della primalità dei primi di Mersenne si basa su una successione definita ricorsivamente. Indicato con L_n l’ennesimo termine della successione

    L_{n+1}={L_n}^2-2

    con L_1=4

    Considerato il p-esimo numero di Mersenne

    M_p=2^p-1

    esso è primo se e solo se si divide per L_{p-1}.

    Il test, sviluppato dal matematico Lucas nel 1870 e semplificato poi da Lehmer nel 1930, è di facile applicazione ed implementazione tanto che nel 1978 due studenti diciottenni di Harvard implementarono in assembler il test e dimostrarono che

    2^{21701}-1

    è un numero primo.

    I numeri di Mersenne sono legati ai numeri cosiddetti perfetti: numeri per i quali la somma dei loro divisori (ad eccezione del numero considerato) è uguale al numero stesso.

    Ad esempio 6 è un numero perfetto: i suoi divisori sono 1,2,3 e la somma dei divisori è uguale al numero stesso:

    1+2+3=6

    Grazie ad Euclide (libro IX degli Elementi, proposizione 36), sappiamo che

    Se p è un numero primo e a sua volta 2^p-1 è primo, allora

    2^{p-1} \cdot (2^p-1)

    è un numero perfetto.

    Consideriamo ad esempio p=3:

    2^3-1=7  è ancora un numero primo e quindi

    2^2 \cdot (2^3-1)=28

    28 è un numero perfetto: i suoi divisori sono 1,2,4,7,14 e la somma dei divisori è uguale al numero considerato:

    1+2+4+7+14=28

    Eulero dimostrò che ogni numero perfetto pari deve essere della forma

    2^{p-1} \cdot (2^p-1).

    Egli trovò anche l’ottavo numero perfetto:

    2^{30} \cdot (2^{31}-1)

    ovvero il numero 2.305.843.008.139.952.128.

    Passarono altri 150 anni prima di scoprire un altro numero perfetto e oramai il senso di sfiducia era forte anche tra i matematici più autorevoli. Peter Barlow, matematico britannico, scrisse del numero di Eulero nel suo libro Theory of Numbers del 1811 parlando del più grande numero che verrà mai scoperto e “poichè essi stimolano soltanto la curiosità, senza essere utili, è improbabile che qualcuno cercherà mai di trovarne uno oltre questo”:

    “is the greatest perfect number known at present, and probably the greatest that ever will be discovered; for, as they are merely curious without being useful, it is not likely that any person will attempt to find a number beyond it”.

    Solo nel 1883 il matematico Ivan Pervushin dimostrò che

    2^{60} \cdot (2^{61}-1)

    è un numero perfetto.

    Quali sono le proprietà dei numeri perfetti? Vediamone alcune:

    – ogni numero perfetto pari è triangolare (un numero si dice triangolare se è dato dalla somma dei numeri consecutivi a partire dall’unità):

    6=1+2+3

    28=1+2+3+4+5+6+7

    – ogni numero perfetto pari è esagonale. Un numero intero n si dice esagonale se

    n=k \cdot (2k-1), k\ intero

    – ogni numero perfetto (escluso il 6) ha radice numerica pari a 1. La radice numerica è la somma delle singole cifre di cui si compone il numero, reiterata sino al raggiungimento di una sola cifra. Consideriamo ad esempio il numero perfetto 496:

    4+9+6=19

    1+9=10

    1+0=1

    – la somma dei reciproci dei divisori di un numero perfetto (incluso il numero stesso) è uguale a 2. Ad esempio, considerando i reciproci dei divisori del numero 6:

    \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=2

     

     

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