Panino con probabilità

    Pintagora passa a salutare la sua amica Teresa che possiede un piccolo negozio di alimentari. Teresa acquista presso un forno dei panini con uvetta, al costo di 0,40 € ciascuno, e li rivende alla sua clientela al prezzo di 0,90 € al pezzo. Sulla base della sua esperienza, conta di vendere da un minimo di 10 panini al giorno ad un massimo di 50, con le seguenti probabilità:

    I panini che non vende in giornata, chiaramente non può rivenderli il giorno successivo. Teresa dice a Pintagora: “Aiutami! Quanti panini devo comprare giornalmente?”

    Pintagora si mette subito a fare i conti, determinando dapprima il guadagno unitario G_u dato dalla differenza tra il prezzo di vendita di un panino e il suo costo di acquisto

    G_u=0,90-0,40=0,50

    Se Teresa acquista 10 panini, il suo guadagno sarà 5 euro:

    10 \cdot 0,50=5\ euro

    Se la domanda è superiore, il guadagno rimarrà il medesimo visto che ha acquistato solo quel quantitativo.

    Se invece acquista 20 panini e la richiesta è di 10 panini, Teresa sostiene un costo di acquisto pari a

    20 \cdot 0,40=8\ euro

    ed un ricavo pari a

    10 \cdot 0,90=9\ euro

    ottenendo un profitto pari a

    9-8=1\ euro

    Se Teresa acquista 20 panini e la richiesta è maggiore (30, 40, 50) il guadagno sarà sempre dato dalla vendita dei 20 panini, pari a 10 euro.

    Costo di acquisto di 20 panini: 20 \cdot 0,40=8\ euro

    Ricavo dalla vendita di 20 panini: 20 \cdot 0,90=18\ euro

    Profitto derivante dalla vendita di 20 panini: 18-8=10\ euro

     

    Pintagora riporta tutti i valori di guadagno in una tabella. I panini richiesti sono le quantità domandate dai clienti dell’alimentari, mentre i panini acquistati fanno riferimento ai quantitativi comprati da Teresa presso il forno:

     

     

    Come è possibile vedere, alcuni valori sono negativi: non c’è un guadagno ma una perdita. Ad esempio, se Teresa acquista 30 panini e ne vende 10, sosterrà un costo di acquisto pari a

    30 \cdot 0,40=12\ euro

    mentre il ricavo dalla vendita è pari a

    10 \cdot 0,90=9\ euro

    Sommando i singoli guadagni moltiplicati per la rispettiva probabilità di vendita, si ottiene il guadagno medio (valore atteso).

    Ad esempio, nel caso di 20 panini acquistati, il guadagno medio è pari a:

    1 \cdot 0,14+10 \cdot 0,24+...+10 \cdot 0,08=8,74

    Il massimo guadagno medio è pari a 10,32 €, quindi Pintagora consiglia a Teresa di acquistare 30 panini.

     

    Possiamo dire che il valore atteso di una variabile aleatoria X rappresenta il valore medio previsto considerando un grande numero di prove, come vedremo tra poco.

    In questo caso, la variabile aleatoria X è data dal guadagno giornaliero derivante dalla vendita dei panini. Quindi, ad esempio, nel caso di 30 panini acquistati da Teresa, i valori x_i che la variabile aleatoria può assumere sono:

    Abbiamo parlato di grande numero di prove: tutto ciò in modo che sia possibile prevedere, mediante la probabilità, le frequenze relative dei vari eventi.

    Nel nostro caso le prove sono da intendersi come giorni di vendita, andando a valutare il guadagno ottenuto in quei specifici giorni. Facciamo un esempio, andando a considerare le vendite giornaliere di panini in un periodo di 100 giorni (supponiamo che Teresa acquisti in questo periodo 30 panini al giorno).

    Se in 24 giorni (dei 100 considerati) si è avuto un guadagno giornaliero di 6 € (derivante dalla vendita di 20 panini), il guadagno totale in 24 giorni è pari a 6 \cdot 24, come possiamo vedere nella seguente tabella:

    Il guadagno medio giornaliero è dato dal guadagno totale diviso il numero di giorni:

    \frac{(-3) \cdot 14+6 \cdot 24+\ldots+15 \cdot 8}{100}=

    =(-3) \frac{14}{100}+6 \frac{24}{100}+\ldots+15 \frac{8}{100}=

    =(-3) \cdot 0,14+6 \cdot 0,24+\ldots+15 \cdot 0,08=10,32

     

        \[\frac{14}{100}, \frac{24}{100},\ldots,\frac{8}{100}\]

    rappresentano le frequenze relative accennate prima.

     

    Di seguito l’anteprima del modellino excel che puoi scaricare:

     

     

    Ti basta inserire i valori nelle celle di colore giallo (costo-ricavo unitario e probabilità) e il modellino ti darà il risultato! Ma prima fai tu i calcoli, utilizzalo solo come verifica!

     

    Scarica il modello excel

     

     

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