Pintagora va a trovare Miuccia, la sua amica tirocinante sarta che da pochi giorni ha iniziato a lavorare (con contratto a tempo determinato) presso la prestigiosa sartoria “Il peplo”. Non appena arriva, la vede subito preoccupata. “Aiutami Pintagora! Non so come fare!”, gli dice. “Devo fare una bordatura a due tovaglie, una di forma quadrata e l’altra circolare, usando interamente una bordura lunga 14 metri e utilizzando meno stoffa possibile!”.
Pintagora la rassicura subito. Definisce meglio il problema: “occorre tagliare la bordura in due parti, una lunga quanto il perimetro del quadrato e l’altra quanto la misura della circonferenza, in modo da rendere minima la somma dell’area del cerchio più l’area del quadrato”
Chiama la lunghezza della bordura:
e indica con il lato del quadrato e
il raggio del cerchio.
L’area totale è quindi pari a (area del quadrato) più
(area del cerchio).
mentre il perimetro totale sarà (perimetro del quadrato) più
(perimetro del cerchio)
dalla quale, esprimendo in funzione di
:
e sostituendolo in :
Pintagora per determinare il minimo di questa funzione ne calcola la derivata prima:
e determina il valore che annulla la derivata prima:
Ora, per capire se è un punto di minimo, valuta il segno della derivata prima nell’intorno del punto. Dal teorema sui massimi e i minimi, sa infatti che considerata una funzione continua in un intorno del punto e derivabile in esso (con l’esclusione al più del punto stesso), se risulta
allora è un punto di minimo relativo.
Per
,
mentre per
,
è quindi un punto di minimo per
.
Per risulta che
, quindi per usare la minor quantità di stoffa possibile e tutti i 14 metri di bordura a disposizione, Miuccia dovrà tagliare le tovaglie in modo che il lato della tovaglia quadrata sia uguale al diametro della tovaglia circolare.
Miuccia è felicissima, è stata assunta con contratto a tempo indeterminato!