Massimi e minimi su misura!

Pintagora va a trovare Miuccia, la sua amica tirocinante sarta che da pochi giorni ha iniziato a lavorare (con contratto a tempo determinato) presso la prestigiosa sartoria “Il peplo”. Non appena arriva, la vede subito preoccupata. “Aiutami Pintagora! Non so come fare!”, gli dice. “Devo fare una bordatura a due tovaglie, una di forma quadrata e l’altra circolare, usando interamente una bordura lunga 14 metri e utilizzando meno stoffa possibile!”.

Pintagora la rassicura subito. Definisce meglio il problema: “occorre tagliare la bordura in due parti, una lunga quanto il perimetro del quadrato e l’altra quanto la misura della circonferenza, in modo da rendere minima la somma dell’area del cerchio più l’area del quadrato”

Chiama $l$ la lunghezza della bordura:

$l=14$

e indica con $x$ il lato del quadrato e $r$ il raggio del cerchio.

L’area totale è quindi pari a $x^2$ (area del quadrato) più $\pi r^2$ (area del cerchio).

$f(x)=x^2+\pi r^2$

mentre il perimetro totale sarà $4x$ (perimetro del quadrato) più $2\pi r$ (perimetro del cerchio)

$4x+2\pi r=l$

dalla quale, esprimendo $r$ in funzione di $x$ :

$r=\frac{l-4x}{2\pi}$

e sostituendolo in $f(x)$ :

$f(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(l-4x)^2}{4\pi}$

Pintagora per determinare il minimo di questa funzione ne calcola la derivata prima:

$f'(x)=2x-\frac{2(l-4x)}{\pi}$

e determina il valore $x$ che annulla la derivata prima:

$f'(x)=0\ per\ x=\frac{l}{\pi+4}$

Ora, per capire se è un punto di minimo, valuta il segno della derivata prima nell’intorno del punto. Dal teorema sui massimi e i minimi, sa infatti che considerata una funzione continua in un intorno del punto e derivabile in esso (con l’esclusione al più del punto stesso), se risulta

$f'(x) \begin{cases} <0\ per\ x<x_0, & \\ >0\ per\ x>x_0 \end{cases}$

allora $x_0$ è un punto di minimo relativo.

Per

$x<\frac{l}{\pi+4}=1,96$ , $f'(x)<0$

mentre per

$x>\frac{l}{\pi+4}$ , $f'(x)>0$

$x=\frac{l}{\pi+4}$ è quindi un punto di minimo per $f(x)$ .

Per $x=\frac{l}{\pi+4}$ risulta che $2r=\ diametro\ del\ cerchio\ = \frac{l}{\pi+4}$ , quindi per usare la minor quantità di stoffa possibile e tutti i 14 metri di bordura a disposizione, Miuccia dovrà tagliare le tovaglie in modo che il lato della tovaglia quadrata sia uguale al diametro della tovaglia circolare.

Miuccia è felicissima, è stata assunta con contratto a tempo indeterminato!

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