Massimi e minimi su misura!

    Pintagora va a trovare Miuccia, la sua amica tirocinante sarta che da pochi giorni ha iniziato a lavorare (con contratto a tempo determinato) presso la prestigiosa sartoria “Il peplo”. Non appena arriva, la vede subito preoccupata. “Aiutami Pintagora! Non so come fare!”, gli dice.  “Devo fare una bordatura a due tovaglie, una di forma quadrata e l’altra circolare, usando interamente una bordura lunga 14 metri e utilizzando meno stoffa possibile!”.

     

     

     

    Pintagora la rassicura subito.  Definisce meglio il problema: “occorre tagliare la bordura in due parti, una lunga quanto il perimetro del quadrato e l’altra quanto la misura della circonferenza, in modo da rendere minima la somma dell’area del cerchio più l’area del quadrato”

    Chiama l la lunghezza della bordura:

    l=14

    e indica con x il lato del quadrato e r  il raggio del cerchio.

    L’area totale è quindi pari a  x^2 (area del quadrato) più \pi r^2 (area del cerchio).

    f(x)=x^2+\pi r^2

    mentre il perimetro totale sarà 4x (perimetro del quadrato) più 2\pi r (perimetro del cerchio)

    4x+2\pi r=l

    dalla quale, esprimendo r in funzione di x:

    r=\frac{l-4x}{2\pi}

    e sostituendolo in f(x):

    f(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(l-4x)^2}{4\pi}

    Pintagora per determinare il minimo di questa funzione ne calcola la derivata prima:

    f'(x)=2x-\frac{2(l-4x)}{\pi}

    e determina il valore x che annulla la derivata prima:

    f'(x)=0\ per\ x=\frac{l}{\pi+4}

    Ora, per capire se è un punto di minimo,  valuta il segno della derivata prima nell’intorno del punto. Dal teorema sui massimi e i minimi, sa infatti che considerata una funzione continua in un intorno del punto e derivabile in esso (con l’esclusione al più del punto stesso), se risulta

        \[f'(x) \begin{cases} <0\ per\ x<x_0, & \\ >0\ per\ x>x_0 \end{cases}\]

    allora x_0 è un punto di minimo relativo.

    Per

    x<\frac{l}{\pi+4}=1,96, f'(x)<0

    mentre per

    x>\frac{l}{\pi+4}, f'(x)>0

    x=\frac{l}{\pi+4} è quindi un punto di minimo per f(x).

    Per x=\frac{l}{\pi+4} risulta che 2r=\ diametro\ del\ cerchio\ = \frac{l}{\pi+4}, quindi per usare la minor quantità di stoffa possibile e tutti i 14 metri di bordura a disposizione, Miuccia dovrà tagliare le tovaglie in modo che il lato della tovaglia quadrata sia uguale al diametro della tovaglia circolare.

     Miuccia è felicissima, è stata assunta con contratto a tempo indeterminato!

     

     

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