Lagrange in autostrada

Conosci il Safety Tutor? Si tratta del sistema di controllo della velocità introdotto da Autostrade per l’Italia nel 2004. Rispetto all’autovelox, che nasce per rilevare il superamento dei limiti di velocità stabiliti dal Codice della Strada, il Tutor misura la velocità media di viaggio (tra due punti di passaggio, l’uno posto solitamente ad una distanza compresa tra i 10 e i 30 km dall’altro).

 

(Immagine: www.stradadeiparchi.it)

 

A un anno dalla sua introduzione, nei tratti in cui è stato  installato il dispositivo, sono stati riscontrati notevoli benefici nella riduzione dell’incidentalità (-22%) e del tasso di mortalità, diminuito del 50% (mentre quello relativo ai feriti del 34%), come si evince dall’analisi La prevenzione nella sicurezza stradale: risultati tutor primi 12 mesi, Autostrade per l’Italia

Sai come funziona? Grazie ad una telecamera, il Tutor rileva il numero di targa dell’auto al passaggio attraverso il primo punto,  salvando data e ora. Sul secondo punto di controllo il dispositivo si focalizza sul passaggio dello stesso veicolo, registrando nuovamente targa, giorno e ora. I dati sono trasmessi ad un computer centrale che fa la valutazione.

Dal canale youtube della Polizia di Stato, il video relativo al funzionamento del Tutor:

Funzionamento tutor

 

Scommetto che non sai che alla base di tale  sistema di rilevamento troviamo il teorema di Lagrange!

Ripassiamo insieme il teorema di Lagrange:

se una funzione f è continua nell’intervallo [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto c ∈ (a,b) tale che

\boldsymbol{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)}

 

Indicando con f(t) lo spazio percorso dall’auto all’istante t, \frac{f(b)-f(a)}{b-a} è la velocità media dell’auto nell’intervallo temporale [a,b] mentre f’(t) rappresenta la velocità istantanea (all’istante t).

Per comprendere il fatto che la derivata rappresenti la velocità istantanea, partiamo dal considerare la figura sotto. Se percorriamo in un’ora 90 km, la velocità è chiaramente di 90 km all’ora (l’incremento della distanza, nell’unità di tempo è la velocità).

 

v=\frac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{90 km}{1 h}=90 \frac{km}{h}

(del significato di coefficiente angolare, avevamo già parlato in Salite in bici, c’è il coefficiente angolare!)

Ma questa è una velocità media: se vogliamo misurare con esattezza la velocità attuale, dividiamo l’ora in 60 parti, misuriamo il cammino percorso in 1/60 di ora (ossia in un minuto) e calcoliamo poi la velocità in km/h. Ma anche in un minuto la distanza che percorriamo può cambiare, quindi sarebbe meglio misurare lo spazio percorso in 1/3600 di ora, ossia in un secondo e poi calcolare la velocità. Si avrà un risultato tanto più adatto a rappresentare la velocità istantanea, tanto più piccolo sarà l’intervallo di tempo che andiamo a considerare.

Ma il limite per \Delta_x che tende a zero del rapporto incrementale (ossia del rapporto \frac{\Delta_y}{\Delta_x})  rappresenta la derivata:

y'=lim_{\Delta_x \to 0}\frac{\Delta_y}{\Delta_x}

 

Tornando al teorema di Lagrange, quindi, sappiamo che esiste (almeno) un istante c all’interno dell’intervallo [a,b] in cui la velocità istantanea del veicolo è uguale alla velocità media.

Ciò vuol dire che sicuramente ci sarà stato un istante in cui hai raggiunto quella velocità media e meriti quella multa…oppure no, se tale velocità rientra nei limiti imposti dal Codice della Strada!

 

Sei pronto per un esercizio sul teorema di Lagrange?

Rappresenta graficamente la funzione y=2x^2-4x-1, valuta se nell’intervallo [1,3] soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange e in caso affermativo calcola l’ascissa dei punti nei quali si verifica il teorema.

 

Attiva il cronometro e non impiegare oltre 10 minuti! Quando hai finito, controlla il risultato!

 

  • Time:

 

guarda la soluzione

 

 

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