Lagrange in Autostrada: la soluzione!

    Rappresenta graficamente la funzione y=2x^2-4x-1, valuta se nell’intervallo [1,3] soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange e in caso affermativo calcola l’ascissa dei punti nei quali si verifica il teorema.

    Soluzione

    Una funzione del tipo y=ax^2+bx+c, come quella data, sappiamo essere una parabola.

    Ecco un modo per disegnare una parabola:

    1.Osserva dapprima se il suo asse è parallelo all’asse delle ascisse oppure a quello delle ordinate. In un’equazione del tipo y=ax^2+bx+c avrai un asse parallelo all’asse delle y mentre con un’ equazione x=ay^2+by+c  l’asse sarà parallelo all’asse delle x.

    2. Stabilisci la sua concavità: verso l’alto o il basso se l’asse è parallelo a quello delle y, verso destra o sinistra se l’asse è parallelo all’asse delle x.

    Nel caso di asse parallelo all’asse delle y,  se a>0 la parabola volge la concavità verso l’alto mentre se a<0 la parabola volge la concavità verso il basso.

    Nel caso di asse parallelo all’asse delle x, se a>0 la parabola volge la concavità verso destra mentre se a<0 la parabola volge la concavità verso sinistra.

    3.Trova le coordinate del vertice. Nel caso di asse parallelo all’asse delle y, le coordinate sono date da:

    V (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})

    mentre se l’asse è parallelo a quello delle x, le coordinate sono

    V (-\frac{\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a})

    ove \Delta=b^2-4ac

    4.Trova le coordinate di almeno una coppia di punti della parabola che stiano da parti opposte rispetto all’asse.

    Per disegnare la parabola, infine, unisci i punti trovati con il vertice.

     

    Data la nostra equazione, y=2x^2-4x-1:

    1.Essendo un’equazione del tipo y=ax^2+bx+c, l’asse sarà parallelo a quello delle y

    2.Il coefficiente a è pari a 2 (quindi è maggiore di 0): la parabola volge la concavità verso l’alto

    3.Calcoliamo le coordinate del vertice:

    -\frac{b}{2a}=1

    \Delta=16-4\cdot 2\cdot (-1)=16+8=24

    -\frac{\Delta}{4a}=-\frac{24}{8}=-3

    Le coordinate del vertice sono V(1,-3)

    L’asse di simmetria della parabola sarà quindi individuato  dall’equazione x=1.

    4.Dovendo trovare due punti opposti rispetto all’asse di simmetria, sceglieremo un valore di ascissa x<1 e un altro valore x>1.

    Nel caso di x<1, scegliamo ad esempio il valore -1.

    Per x=-1, otteniamo

    y=2(-1)^2-4(-1)-1=5

    Mentre nel caso di x>1, scegliendo il valore x=2 abbiamo

    y=2(2)^2-4(2)-1=-1

    Le coordinate dei due punti sono quindi P(-1,5) e Q(2,-1).

    Possiamo a questo punto disegnare la parabola

     

    La funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange:

    – è continua in \mathbb{R}  e quindi anche nell’intervallo [1,3]

    – è derivabile in ogni suo punto (infatti la derivata di un polinomio è ancora un polinomio e dunque sempre continua) e quindi nell’intervallo (1, 3). La derivata è pari a a 4x-4.

    Calcoliamo quindi l’ascissa dei punti nei quali si verifica il teorema.

    \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=4

    in quanto

    f(3)= 2\cdot 3^2-4\cdot 3-1=18-12-1=5

    f(1)= 2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=2-4-1=-3

     

    Deve risultare

    \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)

    e dato che f'(c)=4c-4 abbiamo che

    4=4c-4

    da cui

    4+4=4c

    ossia

    8=4c

    c=\frac{8}{4}=2

    Il valore c=2 appartiene all’intervallo (1,3).

     

     

     

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