Dolci napoletani, che potenze!

Pintagora porta i suoi studenti in gita a Napoli. Una giornata full immersion tra vicoli, sapori e degustazioni alla scoperta della grande tradizione gastronomica napoletana.

Iniziano il loro percorso visitando un rinomato laboratorio di pasticceria che prepara confezioni da spedire ai suoi clienti. Il laboratorio ha 3 corridoi destinati alla vendita di sfogliatelle. Ciascun corridoio ha 3 scaffali e in ogni scaffale ci sono 3 ripiani. Su ogni ripiano vengono poste 3 confezioni di sfogliatelle e in ogni confezione ci sono 3 sfogliatelle. Quante sono in tutto le sfogliatelle?

Ragioniamo insieme:

In ciascun corridoio ci sono 3 scaffali e visto che i corridoi sono 3, il numero di scaffali totali saranno $3 \cdot 3=9$ .

Il numero di ripiani è 3 per scaffale, quindi ci sono $3 \cdot 9=27$ ripiani totali. Le confezioni sono 3 per ripiano quindi il numero di confezioni è $3 \cdot 27=81$ .

Visto che in ciascuna confezione ci sono 3 sfogliatelle, il numero totale di sfogliatelle è $81 \cdot 3=243$ .

Il calcolo è quindi

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=243$

Per evitare scritture così lunghe fatte da moltiplicazioni di fattori tutti uguali, utilizziamo le potenze!

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3= 3^5$

Ricordiamo le potenze? Il numero 3 è la base e il numero 5 è l’esponente della potenza. La base indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso e l’esponente indica il numero di fattori uguali.

Ripassiamo insieme le proprietà delle potenze:

Prima proprietà: prodotto di potenze di uguale base

Il prodotto di potenze di uguale base è una potenza con la stessa base ma il cui esponente è la somma degli esponenti

$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$

Seconda proprietà: quoziente di potenze di uguale base

ll quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza con la stessa base che ha come esponente la differenza degli esponenti:

$\frac{a^m}{ a^n}=a^{m-n}$

Terza proprietà: potenza di una potenza

la potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:

$(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Quarta proprietà: prodotto di potenze di uguale esponente:

il prodotto di due potenze con uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:

$a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

Quinta proprietà: quoziente di potenze di uguale esponente

il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenze che ha per base il quoziente delle basi e per esponente il medesimo esponente:

$\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n$

Come trattiamo invece le potenze con esponente negativo?

possiamo dire che la potenza di un numero razionale diverso da zero e con esponente negativo è una potenza avente come base il reciproco del numero dato e come esponente l’opposto dell’esponente:

$(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$

$a,b \ne 0$

Osservazione: le proprietà delle potenze si basano sul fatto che la potenza rappresenta una moltiplicazione ripetuta, quindi riguardano solo la moltiplicazione e la sua inversa, ovvero la divisione. Per l’addizione e la sottrazione non si ricava alcuna proprietà. Esempio:

supponiamo che i corridoi destinati alla vendita nel laboratorio siano 4: i 3 visti prima per le sfogliatelle più un altro per i babà. Nel corridoio babà ci sono sempre 3 scaffali, ove ciascun scaffale ha 3 ripiani. Su ogni ripiano sono poste 3 confezioni e ciascuna confezione include 3 babà. Quanti sono i babà? Qual è il totale considerando sfogliatelle e babà?

numero totale di ripiani = numero di ripiani di ciascun scaffale moltiplicato per il numero di scaffali:

$3 \cdot 3=9$

numero di confezioni di babà = numero di confezioni posizionate su un ripiano moltiplicato il numero di ripiani:

$3 \cdot 9=27$

Il totale dei babà è dato dal numero di babà inclusi in una confezione moltiplicato il numero delle confezioni:

$3 \cdot 27=81$

cioè

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=3^4$

Il totale tra sfogliatelle e babà è

$3^5+3^4 \ne 3^{5+4}$

Infatti

$3^5+3^4=243+81=324$

Mentre

$3^{5+4}=3^9=19.683$ !

Supponiamo che per ciascun babà acquistato vengano regalate 3 sfogliatelle. Qual è il totale delle sfogliatelle regalate?

Calcoliamolo:

$3^4 \cdot 3=3^4 \cdot 3^1=3^{4+1}=3^5=243$

Ovvero tutte le presenti nei 3 corridoi!

Che profumo nel laboratorio e che bontà! Fai come Pintagora, assapora le sfogliatelle ancora calde!

Prima della sfogliatella, però, risolvi una semplice espressione:

$(0,04^{-1/2} +0,5^{-1})+[\frac{8}{50} \cdot (-\frac{2}{5})^{-2}]-[(8^2)^{-3} \cdot 8^7]$

Avvia il cronometro e controlla il tempo! Ce la farai con 5 minuti?

Al termine, guarda la soluzione e confronta il risultato!

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