Casa di valore (assoluto)

Pintagora cerca una nuova casa. La vuole in prossimità della scuola, non distante da una biblioteca (ama trascorrere il pomeriggio in biblioteca) e non troppo lontano dal parco dove si reca al mattino presto, prima di andare a scuola, per fare jogging. Come scegliere la posizione migliore, in modo che perda meno tempo possibile negli spostamenti? Usa i valori assoluti!

Ricordiamo i valori assoluti? Sia $x$ un numero reale. Il valore assoluto di $x$ , indicato con $\left | x \right |$ è pari a:

$\left | x \right | =\begin{cases} x, & \mbox{se }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{se }x< 0 \end{cases}$

Ad esempio:

$\left | 2 \right |=2$

$\left | -2 \right |=2$

La funzione sarà quindi del tipo:

Pintagora chiama $x$ la coordinata del punto corrispondente alla casa cercata. Consideriamo un sistema di riferimento con origine nella scuola: in direzione Via Roma, a 2 km dalla scuola, c’è una biblioteca:

La casa potrebbe trovarsi dopo la biblioteca (quindi $x>2$ ), ad una distanza dalla biblioteca pari a $x-2$ :

Oppure prima della biblioteca (ovvero $x<2$ ) ad una distanza dalla biblioteca pari a $2-x$ :

La distanza casa-biblioteca è quindi esprimibile attraverso il valore assoluto $\left | x-2 \right |$

$\left | x-2 \right | =\begin{cases} x-2, & \mbox{se }x-2\ge 0, ovvero\ x\ge 2 \\ -(x-2)=2-x, & \mbox{se }x-2< 0, ovvero\ x<2 \end{cases}$

La distanza scuola-casa è invece pari a $\left | x \right |$

Il parco si trova invece a 6 km dalla scuola e la distanza casa-parco è uguale a $\left | x-6 \right |$

La lunghezza del percorso giornaliero di Pintagora è quindi espresso dalla seguente funzione:

Se $x\le0, f(x)=2(6-x)-2x+2(2-x)$

Se $0<x\le2, f(x)=2(6-x)+2x+2(2-x)$

Se $2<x\le6, f(x)=2(6-x)+2x+2(x-2)$

Se $x>6, f(x)=2(x-6)+2x+2(x-2)$

$f(x)$ assume il minimo nel punto $x=2$ . La soluzione non è accettabile visto che si trova la biblioteca in quella posizione; Pintagora sceglierà la nuova casa in prossimità. Casualmente, proprio la casa adiacente alla biblioteca è in vendita, una bellissima casa! Pintagora va subito a richiedere il mutuo in Banca!

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